Интеграл 2 рода -

Пусть в некоторой области D пространства R 2 определены две непрерывные функции P xyQ xy.

Криволинейный интеграл

Разобьем дугу на части точками М 1М 2На каждой дуге возьмем произвольную точку и вычислим значение. Составим интегральную сумму вида:. Эта сумма представляет собой сумму скалярных произведений векторов на векторыгдето. Если существуетне зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точкито этот предел называетсякриволинейным интегралом II рода и обозначается.

В отличие от криволинейного интеграла Iрода, который еще называют интегралом по длине дуги ,криволинейный интеграл II рода называют криволинейным интегралом по координатам. Аналогично может быть дано определение криволинейного интеграла IIрода по пространственной кривой. Свойства криволинейного интеграла второго рода: Физический смысл криволинейного интегралаIIрода по дуге кривой L:. Рассмотрим замкнутую кривую Cбудем называть ее замкнутым контуром. Ориентацию на этой кривой выберем следующим образом: В противном случае область D справа — отрицательным.

Криволинейный интеграл IIрода по замкнутому контуру будем обозначать. Пусть С — положительно ориентированная замкнутая кривая, ограничивающая область Dа функцииP xy иQ xy непрерывны вместе со своими частными производными в области D и на её границе C.

Тогда имеет место равенство. Это равенство называют формулой Грина. Она устанавливает связь криволинейного интеграла второго рода с двойным интегралом. Заметим, что если положить в формуле Гринато получим.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла II родапо замкнутому контуру С можно найтиплощадь области, ограниченной этим контуром:. Если функции P xy иQ xy непрерывны вместе со своими производными и в областиD, ито следующие утверждения эквивалентны: Для любого замкнутого контура. Условие при этом называют условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Существует функция такая, что а и. Это равенство, по существу, представляет собой аналог формулы Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла второго рода. Если при этом А х 0y 0 — некоторая фиксированная точка, а В xy — текущая точка области D. Таким образом, если по известному дифференциалу функции двух переменных требуетсянайти функциюнужновычислить криволинейный интеграл второго рода от выражения по любому пути, соединяющему произвольную фиксированную точку х 0у 0 области определения функций и текущую точку х.

Очевидно, такие функции определяются с точностью до константы. В случае функции трёх переменных и пространственной кривой Lусловия независимости интеграла от пути интегрирования или того, что есть дифференциал некоторой функции имеют вид:. В зависимости от описания линии интегрирования ,преобразование криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу может быть произведено следующими способами.

Вычислитьгде — дуга параболы от точки с абсциссой до точки с абсциссой. Поскольку линия интегрирования задана условиями, то используем принцип перехода к определенному интегралу, указанный выше в пункте 1 формула Вычислитьгде — отрезок прямой между точками А 2, —2, 0 и В 1, 1, 1. При этом точке А 2, —2, 0 соответствует значениеа точке В 1, 1, 1 — значениезначит, на линии. Таким образом, имеем случай задания линии интегрирования, рассмотренный выше в пункте 4 формула 4. Вычислитьесли L — контур треугольника с вершинамиB 3,1C 1,5пробегаемый против часовой стрелки.

Треугольник АВСпо которому идет интегрирование, изображен на рисунке 1. Как видим, контур L этого треугольника состоит из трех участков: Эти отрезки лежат на разных прямых, и, следовательно, задаются разными уравнениями. Поэтому сначала необходимо воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла и расписать его в виде суммы трех интегралов по соответствующим отрезкам:.

Вычислим каждый из этих интегралов отдельно. При этом обязательно нужно учитывать, что движение по контуру — против часовой стрелки: Найдем сначала уравнение прямой, проходящей через точки и:.

Таким образом, уравнение отрезка BC имеет вида так как обход контура осуществляется против часовой стрелки то есть движение вдоль этого отрезка происходит от точки B к точке Cто переменная x меняется от 3 до 1. Тогда снова формула 1 получим.

Поэтому соответствующий интеграл равен. ВычислитьеслиL — первая арка циклоида. Очевидно, заданный интеграл есть криволинейный интеграл II рода:.

Циклоида имеет вид, изображённый на рис. Поскольку линия L задана параметрическими уравнениями, то криволинейный интеграл II рода сводиться к определённому по формуле 3. Доказать, что не зависит от пути интегрирования Lи вычислить его по линии, соединяющей точки A 1,2 и С 2,1. Согласно теореме 2 стр. В нашем случае. В таких случаях проще всего криволинейный интеграл II рода вычислять по ломанной, звенья которой параллельны осям координат. Здесь воспользовались свойством определенного интеграла о независимости интеграла от переменной интегрирования.

Но, поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то можно выбрать и любую другую линию, соединяющую точки А и С. Рассмотрим, например, прямую АС. При перемещении по этой прямой от точка А к точке С переменная у меняется от 2 до 1. Данный интеграл есть криволинейный интеграл второго рода по координатамкоторый нужно вычислить вдоль некоторой линии от точки до точки.

Поскольку линия не задана, то можно предположить, что данный интеграл не зависит от пути интегрирования. Очевидно и сами функции, их производные непрерывны на всей числовой плоскости и выполняется условие.

Значит, действительно, интеграл не зависит от вида кривой, а зависит только от точек А 1; 1 и В 3; 5. Следовательно, можно выбрать любую линию, их соединяющую. Рассматривается криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру. Контур С есть окружность радиуса 1 с центром в начале координат рис. Применим формулу Грина стр. При этом контур С ограничивает область Dкоторая представляет собой, очевидно, круг. В данном интеграле. По формуле Грина получаем. Здесь мы используем свойство двойного интеграла.

Найти функцию по ее дифференциалу. Но для этого необходимо, чтобы выполнялось условие независимости интеграла от пути интегрирования.

Очевидно, эти функции непрерывны на всей числовой плоскости. Находим, следовательно — условия независимости интеграла от пути интегрирования выполняются. В качестве линии интегрирования выберем ломаную АСВ рисунок 5где — произвольная фиксированная точка плоскости, —текущая точка плоскости. Отрезки АС и СВ параллельны осям О х и О у соответственно.

FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Криволинейный интеграл второго рода Пусть в некоторой области D пространства R 2 определены две непрерывные функции P xyQ xy. Составим интегральную сумму вида: Эта сумма представляет собой сумму скалярных произведений векторов на векторыгдето есть Обозначим Определение Если существуетне зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точкито этот предел называетсякриволинейным интегралом II рода и обозначается.

Аналогично может быть дано определение криволинейного интеграла IIрода по пространственной кривой Свойства криволинейного интеграла второго рода: Связь между криволинейнымиинтегралами I и II рода выражает формула: Физический смысл криволинейного интегралаIIрода по дуге кривой L: Криволинейный интеграл IIрода по замкнутому контуру будем обозначать Справедлива Теорема 1 формула Грина Пусть С — положительно ориентированная замкнутая кривая, ограничивающая область Dа функцииP xy иQ xy непрерывны вместе со своими частными производными в области D и на её границе C.

Криволинейные интегралы. Понятие и примеры решений

Заметим, что если положить в формуле Гринато получим Рассмотрим три случая: Таким образом, с помощью криволинейного интеграла II родапо замкнутому контуру С можно найтиплощадь области, ограниченной этим контуром: Справедливо также следующая важная теорема. В случае функции трёх переменных и пространственной кривой Lусловия независимости интеграла от пути интегрирования или того, что есть дифференциал некоторой функции имеют вид: Способы вычисления криволинейного интеграла II рода В зависимости от описания линии интегрирования ,преобразование криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу может быть произведено следующими способами.

Поскольку линия интегрирования задана условиями, то используем принцип перехода к определенному интегралу, указанный выше в пункте 1 формула 1: Пример 2 Вычислитьгде — отрезок прямой между точками А 2, —2, 0 и В 1, 1, 1.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В: Поэтому сначала необходимо воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла и расписать его в виде суммы трех интегралов по соответствующим отрезкам: Найдем сначала уравнение прямой, проходящей через точки и: Тогда заданный интеграл равен.

ВычислитьеслиL — первая арка циклоида Решение. Очевидно, заданный интеграл есть криволинейный интеграл II рода: Рассмотрим ломанную ABC рис.

наверх